$\sqrt2 cos\left(A-B\right)=1$, $2 sin\left(A+B\right)=\sqrt3$ এবং $A$, $B$ সূক্ষকোণ হলে, নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

Question

$\sqrt2 cos\left(A-B\right)=1$, $2 sin\left(A+B\right)=\sqrt3$ এবং $A$, $B$ সূক্ষকোণ হলে,

• (ক) $A$ ও $B$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{cosA-sinA}{cosA+sinA}=\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $A=45^\circ$ প্রমাণ কর যে, $cos 2A=\frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}$
• (ঘ) সমাধান কর: $2cos^2\theta+3sin\theta-3=0$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। 

Answer 1

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,
$\sqrt2 cos\left(A-B\right)=1$

বা, $cos\left(A-B\right)=\frac{1}{\sqrt2}$

বা, $cos\left(A-B\right)=cos45^{\circ}$

বা, $A-B=45^{\circ}$ ----- ($i$

এবং, $2 sin\left(A+B\right)=\sqrt3$

বা, $sin\left(A+B\right)=\frac{\sqrt3}{2}$

বা, $sin\left(A+B\right)=sin60^{\circ}$

বা, $A+B=60^{\circ}$ ----- ($ii$)

($i$) ও ($ii$) সমীকরণ যোগ কর
$(A-B)+(A+B)=45^{\circ}+60^{\circ}$

বা, $A-B+A+B=105^{\circ}$

বা, $2A=105^{\circ}$

বা, $A=\frac{105^{\circ}}{2}$

$\therefore A={52 \frac{1}{2}}^{\circ}$

($ii$) থেকে ($i$) সমীকরণ বিয়োগ কর
$(A+B)-(A-B)=60^{\circ}-45^{\circ}$

বা, $A+B-A+B=15^{\circ}$

বা, $2B=15^{\circ}$

বা, $B=\frac{15^{\circ}}{2}$

$\therefore B={7\frac{1}{2}}^{\circ}$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $A={52\frac{1}{2}}^{\circ}$ এবং $B={7\frac{1}{2}}^{\circ}$

---

(খ) নং এর সমাধান

$\frac{cosA-sinA}{cosA+sinA}=\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}$

বা, $\frac{\left(cosA-sinA\right)+\left(cosA+sinA\right)}{\left(cosA-sinA\right)-\left(cosA+sinA\right)}=\frac{\left(1-\sqrt3\right)+\left(1+\sqrt3\right)}{\left(1-\sqrt3\right)-\left(1+\sqrt3\right)}$

বা, $\frac{cosA-sinA+cosA+sinA}{cosA-sinA-cosA-sinA}=\frac{1-\sqrt3+1+\sqrt3}{1-\sqrt3-1-\sqrt3}$

বা, $\frac{2cosA}{-2sinA}=\frac{2}{-2\sqrt3}$

বা, $\frac{cosA}{sinA}=\frac{1}{\sqrt3}$

বা, $cot A=cot60^{\circ}$

$\therefore A=60^{\circ}$

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $A=45^\circ$

Left Hand Side,
$=cos2A$

$=cos \left(2\times45^\circ\right)$

$=0$

Right Hand Side,
$=\frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}$

$=\frac{1-tan^245^\circ}{1+tan^245^\circ}$

$=\frac{1-(1)^2}{1+(1)^2}$

$=\frac{1-1}{1+1}$

$=\frac{0}{2}$

$=0$

$\therefore$ Left Hand Side = Right Hand Side

---

(ঘ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমীকারণ,
$2cos^2\theta+3sin\theta-3=0$

বা, $2cos^2\theta+3sin\theta-3=0$

বা, $2\left(1-sin^2\theta\right)+3sin\theta-3=0$

বা, $2\left(1^2-sin^2\theta\right)+3sin\theta-3=0$

বা, $2\left(1+sin\theta\right)\left(1-sin\theta\right)+3\left(sin\theta-1\right)=0$

বা, $2\left(1+sin\theta\right)\left(1-sin\theta\right)-3\left(1-sin\theta\right)=0$

বা, $\left(1-sin\theta\right)\left\{2\left(1+sin\theta\right)-3\right\}=0$

বা, $\left(1-sin\theta\right)\left(2+2sin\theta-3\right)=0$

বা, $\left(1-sin\theta\right)\left(2sin\theta-1\right)=0$

হয়,
বা, $1-sin\theta=0$

বা, $-sin\theta=0-1$

বা, $sin\theta=1$

বা, $sin\theta=sin90^{\circ}$

$\therefore \theta=90^{\circ}$

অথবা,
$2sin\theta-1=0$

বা, $2sin\theta=1$

বা, $sin\theta=\frac{1}{2}$

বা, $sin\theta=sin30^{\circ}$

$\therefore \theta=30^{\circ}$

যেহেতু দেওয়া আছে, $\theta=$সূক্ষ্মকোণ।

সেহেতু $\theta$ এর মান হবে $30^{\circ}$ [Answer]