প্রমাণ কর যে, $\sqrt2$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

আমরা জানি, বাস্তব সংখ্যা দুই প্রকার, যথা(১) মূলদ সংখ্যা      (i) পূর্ণ সংখ্যা      (ii) সমীম ভগ্নাংশ সংখ্যা(২) অমূলদ সংখ্যাঅর্থাৎ $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা এই তিনটির যে কোনো একটিতে অবশ্যই হতে হবে।প্রথমেই ধরি, $ \sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যার দুইটি পার্ট (i) পূর্ণ সংখ্যা (ii) সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা।প্রথমে, $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা কিনা তা প্রমাণ করার চেষ্টা করি,আমরা জানি, স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যার $N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 \ldots \ldots \ldots$এই $N$ এর ধারবাহিক সংখ্যাগুলোর কিছুকে বর্গমূল করে পাই$~~~ \sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{5} < \ldots \ldots \ldots$$= 1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}\ldots \ldots \ldots$দেখা যাচ্ছে $ \sqrt{2}$ এর অবস্থান $1$ এবং $2$ পূর্ণসংখ্যাদ্বয়ের এর মধ্যবর্তী। অর্থাৎ $1$ থেকে বড়, $2$ থেকে ছোট। কিন্তু আমরা জানি, $1$ এবং $2$ এর মধ্যবর্তী কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই। সুতরাং $ \sqrt{2}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়।বাকি রইলো, সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যা।ধরি $ \sqrt{2}$ সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা।ভগ্নাংশ সংখ্যা মানে এর হর এবং লব থাকতে হবে, ধরি হর $q$ এবং লব $p$,ভগ্নাংশটির $p$ ও $q$ -কে কিছু শর্ত মানতে হবে, যেমন-(i)  $p$ ও $q$ পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।(ii) হর $q$ অবশ্যই $1$ থেকে বড় হতে হবে। কারণ ভগ্নাংশের নিচে যদি $1$ থাকে তবে সেটি কোনো ভগ্নাংশই নয়, যেমন ${5 \over 1} = 5$ হবে। তাই নিচের হরটি অবশ্যই $1$ অপেক্ষা বড় হতে হবে।(iii) $p$ ও $q$ সহ মৌলিক হতে হবে। এখনে $3$ এবং $15$ এর দিকে লক্ষ্য করুন, এখানে $15$ কে $3$ দিয়ে পরিপূর্ণ ভাগ যায়। $4$ এবং $16$ একই রকম। অর্থাং $p$ ও $q$ সংখ্যাদ্বয় এমন হতে হবে, যেখানে এরা একে অপরকে পরিপূর্ণ ভাগ যাবে না। মানে সহমৌলিক হতে হবে।সুতরাং $ \sqrt{2} =$ সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা ${p \over q}$বা, $2 = {p^2 \over q^2}$ [ উভয় পক্ষকে বর্গ করে ]অর্থাৎ, $2q = {p^2 \over q}$ [ উভয় পক্ষকে $q$ দ্বারা গুণ করে ]এখানে বামপক্ষে $2q$ পূর্ণ সংখ্যা,কারণ $2$ পূর্ণ সংখ্যা এবং শর্ত (i) অনুসারে $q$-ও পূর্ণসংখ্যা। যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে অন্য পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে পূর্ণ সংখ্যাই পাওয়া যায়। যেমন $3 \times 7 = 21, 5 \times 13 = 65$ ইত্যাদি। অর্থাৎ $2q$ একটি পূর্ণ সংখ্যা।কিন্তু ডানপক্ষ ${p^2 \over q}$ পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ, শর্ত (iii) মতে $p$ ও $q$ সহ মৌলিক, এরা নিজেরাই একে অপকে পূর্ণভাবে ভাগ যাবে না, এবং এর একটিকে বর্গকরলেও অপরটি দ্বারা পূর্ণভাবে ভাগ যাবে না। সুতরাং ডানপক্ষ ${p^2 \over q}$ পূর্ণসংখ্যা নয়। যেখানে বামপক্ষ কিন্তু পূর্ণ সংখ্যা।অর্থাৎ এখানে বামপক্ষ এবং ডানপক্ষ পরস্পর সমান নয়। মানে, $2q \neq {p^2 \over q}$সুতরাং $ \sqrt{2}$ সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যাও নয়।আমরা আগেই বলেছিলাম $ \sqrt{2}$ কে তিনটি শর্ত (পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা)-এর যেকোনো একটিতে হতে হবে। কিন্তু দেখা যাচ্ছে $ \sqrt{2}$ তিনটি শর্তের দুটির মধ্যেই পড়ে না, মানে পূর্ণ সংখ্যা নয়, ভগ্নাংশ সংখ্যাও নয়। সুতরাং $ \sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যাই। 

ধরি $\sqrt2$ একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে এমন দুইটি পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা $p$, $q>1$ থাকবে যে, $\sqrt2=\frac{p}{q}$

বা, $2=\frac{p^2}{q^2}$ [বর্গ করে]

অর্থাৎ $2q=\frac{p^2}{q}$ [উভয় পক্ষকে $q$ দ্বারা গুণ করে]

স্পষ্টত $2q$ পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু $\frac{p^2}{q}$ পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং $q>1$

$\therefore$ $2q$ এবং $\frac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না, অর্থাৎ $2q\neq\frac{p^2}{q}$

$\therefore$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ $\sqrt2\neq\frac{p}{q}$

$\therefore$ $\sqrt2$ একটি অমূলদ সংখ্যা। $\square$