প্রমাণ কর যে, কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

মনে করি, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে $x$, $\left(x+1\right)$, $\left(x+2\right)$, $\left(x+3\right)$

ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে পাওয়া যায়,

$x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1$

$=x\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1$

$=\left(x^2+3x\right)\left[x\left(x+2\right)+1\left(x+2\right)\right]+1$

$=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+2x+x+2\right)+1$

$=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+1$

$=a\left(a+2\right)+1$ [ধরি, $x^2+3x=a$]

$=a^2+2a+1$

$=a^2+2\cdot a\cdot1+1^2$

$=\left(a+1\right)^2$

$=\left(x^2+3x+1\right)^2$ [$a=x^2+3x$ বসিয়ে]

যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। $\square$