Question

$ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B=$ এক সমকোণ এবং $AC = BC$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{BC cos C - AC cos B}{BC cos B - AC cos  A}$$+cosC=0$

Answer 1

$ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B=$ এক সমকোণ এবং $AB=BC$ অর্থাৎ এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং $\angle A = \angle C = 45^\circ$

ধরি, $AB=BC=a$

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ$^2$ $=$ লম্ব$^2$ $+$ ভূমি$^2$

বা, $AC^2=AB^2+BC^2$

বা, $AC^2=a^2+a^2$

বা, $AC^2=2a^2$

বা, $AC=\sqrt{2a^2}$

$\therefore AC=\sqrt2 a$

এখন,
Left Hand Side
$=\frac{BC cos C - AC cos B}{BC cos B - AC cos  A}+cosC$

$=\frac{a \; cos 45^\circ - \sqrt2a \; cos 90^\circ}{a \; cos 90^\circ - \sqrt2a \; cos 45^\circ}+cos 45^\circ$

$=\frac{a \times \frac{1}{\sqrt2} - \sqrt2a \times 0}{a \times 0 - \sqrt2a \times \frac{1}{\sqrt2}}+\frac{1}{\sqrt2}$

$=\frac{\frac{a}{\sqrt2} - 0}{0 - a}+\frac{1}{\sqrt2}$

$=\frac{\frac{a}{\sqrt2}}{-a}+\frac{1}{\sqrt2}$

$=\left(\frac{a}{\sqrt2} \times \frac{1}{-a}\right)+\frac{1}{\sqrt2}$

$=-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}$

$=0$

$=$ Right Hand Side [Proved]

Comments

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের টেবিল থেকে পাই

$cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$

$cos90^\circ=0$