$\triangle ABC$ এর $\angle B = 90^\circ$, $AB=5$ সে.মি., $BC=12$ সে.মি. হলে, নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

Question

$\triangle ABC$ এর $\angle B = 90^\circ$, $AB=5$ সে.মি., $BC=12$ সে.মি.।

• (ক) $AC$ এ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) $\angle C=\theta$ হলে $sin \theta + cos \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) দেখাও যে, $sec^2\theta + cosec^2\theta = sec^2 \theta \cdot cosec^2\theta$

Answer 1

মনে করি, প্রশ্নানুসারে,
$\triangle ABC$-ই চিত্রের উল্লেখিত ত্রিভুজ, যার $\angle B = 90^\circ$, ভূমি$=BC=12$ সে.মি. লম্ব$=AB=5$ সে.মি., অতিভুজ$=AC$ এবং $\angle C=\theta$

---

(ক) এর সমাধান

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, আমরা জানি,
অতিভুজ$^2$ = লম্ব$^2$ + ভূমি$^2$

বা, $AC^2=AB^2+BC^2$

বা, $AC^2=(5)^2+(12)^2$

বা, $AC^2=25+144$

বা, $AC^2=169$

বা, $AC=\sqrt{169}$

বা, $AC=13$

অর্থাৎ, অতিভুজ$=AC=13$ সে.মি. [Answer]

---

(খ) এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,
$sin \theta + cos \theta$

এখানে,
$sin \theta =$ ^লম্ব/_{অতিভুজ} $= \frac{AB}{AC}$ $= \frac{5}{13}$

$cos \theta =$ ^ভূমি/_{অতিভুজ} $= \frac{BC}{AC}$ $= \frac{12}{13}$

সুতরাং নির্ণেয় মান
$sin \theta + cos \theta$

$=\frac{5}{13} + \frac{12}{13}$

$=\frac{5+12}{13}$

$=\frac{17}{13}$ [Answer]

---

(গ) এর সমাধান

এখানে,
$sec \theta =$ ^{অতিভুজ}/_ভূমি $= \frac{AC}{BC}$ $= \frac{13}{12}$

$cosec \theta =$ ^{অতিভুজ}/_লম্ব $= \frac{AC}{AB}$ $= \frac{13}{5}$

Left Hand Side
$=sec^2\theta + cosec^2\theta$

$=\left(\frac{13}{12}\right)^2+\left(\frac{13}{5}\right)^2$

$=\frac{169}{144}+\frac{169}{25}$

$=\frac{4225+24336}{3600}$

$=\frac{28561}{3600}$

Right Hand Side
$= sec^2 \theta \cdot cosec^2\theta$

$=\left(\frac{13}{12}\right)^2 \cdot \left(\frac{13}{5}\right)^2$

$=\frac{169}{144} \cdot \frac{169}{25}$

$=\frac{28561}{3600}$

$\therefore$ Left Hand Side = Right Hand Side

অর্থাৎ, $sec^2\theta + cosec^2\theta = sec^2 \theta \cdot cosec^2\theta$ [দেখানো হলো]