$cosecA-cotA=\frac{1}{x}$ হলে,
নবম-দশম শ্রেণির গণিত পাঠ্য বইয়ের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (৯.১) এর সকল সমাধান পেতে এখানে ক্লিক করুন।
(ক) এর সমাধান :
দেওয়া আছে,
$cosecA-cotA=\frac{1}{x}$
আমরা জানি,
$cosec^2 \theta - cot^2 \theta = 1$
সুতরাং
$cosec^2A - cot^2A = 1$
বা, $(cosecA + cotA)$$(cosecA - cotA)=1$
বা, $(cosecA + cotA) \times \frac{1}{x}=1$
[ মান বসিয়ে ]
বা, $(cosecA + cotA)=1 \times \frac{x}{1}$
$\therefore cosecA + cotA=x$ [নির্ণেয় মান]
(খ) এর সমাধান :
(ক) নং হতে পাই,
$cosecA + cotA=x$
বা, $\frac{1}{sinA} + \frac{cosA}{sinA}=x$
বা, $\frac{1+cosA}{sinA}=x$
বা, $\left(\frac{1+cosA}{sinA}\right)^2=(x)^2$
[ উভয় পার্শ্বে বর্গ করে ]
বা, $\frac{(1+cosA)^2}{sin^2A}=x^2$
বা, $\frac{(1^2+2 \cdot 1 \cdot cosA+cos^2A)}{sin^2A}=x^2$
বা, $\frac{(1+2cosA+cos^2A)}{sin^2A}=x^2$
বা, $\frac{(1+2cosA+cos^2A) + sin^2A}{(1+2cosA+cos^2A) - sin^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
[ যোজন-বিয়োজন করে ]
বা, $\frac{1+2cosA+cos^2A + sin^2A}{1+2cosA+cos^2A - sin^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
বা, $\frac{1+2cosA+1}{1+2cosA+cos^2A - (1-cos^2A)}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
[ $\because$ $sin^2\theta+con^2\theta=1$ এবং $sin^2\theta=1-cos^2\theta$ ]
বা, $\frac{2+2cosA}{1+2cosA+cos^2A - 1+cos^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
বা, $\frac{2+2cosA}{2cosA+2cos^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
বা, $\frac{2(1+cosA)}{2cosA(1+cosA)}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
বা, $\frac{1}{cosA}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
$\therefore secA=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ [দেখানো হলো]
(গ) এর সমাধান :
(খ) হতে পাই,
$secA=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
বা, অতিভুজ/ভূমি = $\frac{x^2+1}{x^2-1}$
অর্থাৎ, অতিভুজ =$(x^2+1)$, ভূমি =$(x^2-1)$, লম্ব =?
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে, আমরা জানি,
অতিভুজ$^2$ = লম্ব$^2$ $+$ ভূমি$^2$
বা, লম্ব$^2$ = অতিভুজ$^2$ $-$ ভূমি$^2$
বা, লম্ব$^2$ = $(x^2+1)^2-(x^2-1)^2$
বা, লম্ব$^2$ = $\left\{\left(x^2\right)^2+2 \cdot x^2 \cdot 1 +1^2\right\}-$$\left\{\left(x^2\right)^2-2 \cdot x^2 \cdot 1 +1^2\right\}$
বা, লম্ব$^2$ = $\left(x^4+2x^2+1\right)-$$\left(x^4-2x^2+1\right)$
বা, লম্ব$^2$ = $x^4+2x^2+1-x^4+2x^2-1$
বা, লম্ব$^2$ = $4x^2$
বা, লম্ব = $\sqrt{4x^2}$
$\therefore$ লম্ব = $2x$
এখন,
Left Hand Side
$tanA+cotA$
= লম্ব/ভূমি + ভূমি/লম্ব
= $\frac{2x}{x^2-1} + \frac{x^2-1}{2x}$
= $\frac{4x^2 + (x^2-1)^2}{2x(x^2-1)}$
= $\frac{4x^2 + \left(x^2\right)^2-2 \cdot x^2 \cdot 1+1^2}{2x(x^2-1)}$
= $\frac{4x^2 + x^4-2x^2+1}{2x(x^2-1)}$
= $\frac{x^4+2x^2+1}{2x(x^2-1)}$
Right Hand Side
$secA \cdot cosecA$
= অতিভুজ/ভূমি $\cdot$ অতিভুজ/লম্ব
= $\frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+1}{2x}$
= $\frac{(x^2+1)^2}{2x(x^2-1)}$
= $\frac{\left(x^2\right)^2+2 \cdot x^2 \cdot 1+1^2}{2x(x^2-1)}$
= $\frac{x^4+2x^2+1}{2x(x^2-1)}$
= Left Head Side
অর্থাৎ, $tanA+cotA = secA \cdot cosecA$ [Proved]