Question

দুই ভাইয়ের একটি প্রশিক্ষিত ঘোড়া ছিল যা যেকোনো নির্দেশই পালন করতে পারে। দুই ভাই একই সময়ে বাসা থেকে রওয়ানা হয়ে $20$ মাইল দূরে একটি বৈশাখী মেলায় যেতে চায়। ঘোড়া যেকোনো মুহুর্তে মাত্র একজন ভাইকে বহন করতে পারে। ভাইদের বেগ ঘণ্টায় $4$ মাইল এবং ঘোড়ার বেগ ঘণ্টায় (মানুষসহ কিংবা ছাড়া) $10$ মাইল হলে সর্বনিম্ন কত সময়ে তারা মেলায় পৌঁছতে পারবে? প্রত্যেক ভাই কতটা পথ হাঁটবে?

Answer 1

দুই ভাই একই সময়ে বাসা হতে রওয়ানা করে একত্রে মেলায় পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়ই নূন্যতম সময়।

ধরি, একই সময়ে বাসা $H$ হতে ১ম ভাই ঘোড়ায় ও ২য় ভাই হেঁটে রওয়ানা হলো। ঘোড়াটি $HA=x$ মাইল দূরে $A$ বিন্দুতে ১ম ভাইকে নামিয়ে দিয়ে ২য় ভাইকে যখন নিতে আসলো ততক্ষণে ২য় ভাই $HB=y$ মাইল পথ হেঁটে $B$ বিন্দুতে পৌঁছায়।

এখানে, $AB=HA-HB=(x-y)$ মাইল

২য় ভাইয়ে হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $HB=y$ মাইল
এই সময়ে ঘোড়ার অতিক্রান্ত দূরত্ব $=HA+AB$ $=(x+x-y)$ $=(2x-y)$ মাইল।

শর্তানুসারে,
$\frac{y}{4}=\frac{2x-y}{10}$

বা, $8x-4y=10y$

বা, $8x=14y$

$\therefore x=\frac{7}{4}y$ ----- ($i$)

সর্বনিম্ন সময়ে পৌঁছানোর জন্য ঘোড়াটি যতক্ষণে ১ম ভাইকে $A$ বিন্দুতে নামিয়ে ২য় ভাইকে $B$ বিন্দু থেকে নিয়ে মেলা $F$-এ পৌঁছায় ততক্ষণে ১ম ভাইকে মেলায় পৌঁছাতে হবে।

১ম ভাইয়ের হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $AF=HF-HA$ $=(20-x)$ মাইল।

এই সময়ে ঘোড়ার অতিক্রান্ত দূরত্ব $=AB+BA+AF$ $=\{2(x-y)+20-x\}$ $=(2x-2y+20-x)$ $=(x-2y+20)$ মাইল।

শর্তানুসারে,

$\frac{20-x}{4}=\frac{x-2x+20}{10}$

বা, $4x-8y+80=20-10x$

বা, $14x-8y=120$

বা, $14 \times \frac{7}{4}y-8y=120$

বা, $\frac{49y}{2}-8y=120$

বা, $\frac{49y-16y}{2}=120$

বা, $\frac{33y}{2}=120$

বা, $33y=240$

বা, $y=\frac{240}{33}$

বা, $y=\frac{80}{11}$

($i$) নং সমীকরণে $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$x=\frac{7}{4} \times \frac{80}{11}$ $=\frac{140}{11}$

$\therefore$ ১ম ভাইয়ের হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব $\left(20-\frac{140}{11}\right)$ $=\frac{80}{11}$ মাইল। [Answer of the 1st Question]

এবং ২য় ভাইয়ের হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব $\frac{80}{11}$ মাইল। [Answer to the 1st Question]

যেহেতু দুই ভাই একত্রে মেলায় পৌঁছায়।

$\therefore$ মোট প্রয়োজনীয় সময় $=$ ঘোড়াটির $HA$ দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় $+$ ১ম ভাইয়ের হেঁটে $AF$ দূরত্বঅতিক্রান্ত করতে প্রয়োজনীয় সময়

$=\frac{x}{10}+\frac{20-x}{4}$

$=\frac{140}{11 \times 10}+\frac{80}{11 \times 4}$

$=\frac{14}{11}+\frac{20}{11}$

$=\frac{34}{11}$

$=3\frac{1}{11}$ ঘণ্টা [Answer to the 2nd Question]