Question

$ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B=$ এক সমকোণ এবং $cot A + cot B = 2 cot C$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2+BC^2=2AB^2$

Answer 1

প্রশ্নমতে,
সমকোণী $\triangle ABC$ এর $\angle B = 90^\circ$

দেওয়া আছে,
$cot A + cot B = 2 cot C$

বা, $\frac{AB}{BC}+cot90^\circ=2\times\frac{BC}{AB}$

বা, $\frac{AB}{BC}+0=\frac{2BC}{AB}$

বা, $\frac{AB}{BC}=\frac{2BC}{AB}$

বা, $AB^2=2BC^2$

বা, $AB^2+AB^2=2BC^2+AB^2$
[ উভয় পার্শ্বে $AB^2$ যোগ করে ]

বা, $AB^2+AB^2=BC^2+\underline{BC^2+AB^2}$

বা, $2AB^2=BC^2+\underline{AC^2}$

$\therefore AC^2+BC^2=2AB^2$ [Proved]

Comments

Note :
যখন, $\theta=\angle A$ তখন ভূমি$=AB$; লম্ব$=BC$ এবং অতিভুজভূমি$=AC$
সুতরাং তখন $cotA=$^ভূমি/_লম্ব$=\frac{AB}{BC}$

যখন, $\theta=\angle C$ তখন ভূমি$=BC$; লম্ব$=AB$ এবং অতিভুজভূমি$=AC$
সুতরাং তখন $cotC=$^ভূমি/_লম্ব$=\frac{BC}{AB}$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের টেবিল থেকে পাই

$cot90^\circ=0$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে
লম্ব$^2$ $+$ ভুমি$^2$ $=$ অতিভুজ$^2$
$BC^2+AB^2=AC^2$