$sin \theta=p$, $cos \theta=q$, $tan \theta=r$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। তাহলে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

Question

$sin \theta=p$, $cos \theta=q$, $tan \theta=r$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $r=\sqrt{(3)^{-1}}$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $p+q=\sqrt2$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta=45^\circ$
• (গ) $7p^2+3q^2=4$ হলে দেখাও যে, $tan \theta = \frac{1}{\sqrt3}$

Answer 1

(ক) এর সমাধান

দেওয়া আছে, $tan\theta=r$

প্রদত্ত রাশি,
$r=\sqrt{(3)^{-1}}$

বা, $tan\theta=\sqrt{(3)^{-1}}$

বা, $tan\theta=\sqrt{\frac{1}{3}}$

বা, $tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}$

বা, $tan\theta=tan30^\circ$

$\therefore \theta=30^\circ$ [Answer]

---

(খ) এর সমাধান

দেওয়া আছে, $sin \theta=p$, $cos \theta=q$

(খ) নং প্রশ্নে, দেওয়া আছে,
$p+q=\sqrt2$

বা, $sin \theta + cos\theta = \sqrt2$

বা, $sin \theta = \sqrt2 - cos\theta $

বা, $sin^2 \theta = \left(\sqrt2 - cos\theta\right)^2$

বা, $1-cos^2 \theta = $$(\sqrt2)^2 - 2 \cdot \sqrt2 \cdot cos \theta + (cos\theta)^2$

বা, $1-cos^2 \theta = 2 - 2 \sqrt2cos \theta + cos^2\theta$

বা, $1-cos^2 \theta - 2 + 2 \sqrt2cos \theta - cos^2\theta $$= 0$

বা, $-2cos^2 \theta + 2 \sqrt2cos \theta -1 $$= 0$

বা, $2cos^2 \theta - 2 \sqrt2cos \theta +1 = 0$
[ উভয় পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে ]

বা, $\left(\sqrt2 cos \theta \right)^2 - 2 \cdot \sqrt2 cos \theta \cdot 1 + (1)^2 $$= 0$

বা, $\left(\sqrt2 cos \theta - 1 \right)^2 = 0$

বা, $\sqrt{\left(\sqrt2 cos \theta - 1 \right)^2} = \sqrt{0}$

বা, $\sqrt2 cos \theta - 1 = 0$

বা, $\sqrt2 cos \theta = 1$

বা, $cos \theta = \frac{1}{\sqrt2}$

বা, $cos \theta = cos45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$ [প্রমাণিত]

---

(গ) এর সমাধান

দেওয়া আছে, $sin \theta=p$, $cos \theta=q$

(গ) নং প্রশ্নে, দেওয়া আছে,
$7p^2+3q^2=4$

বা, $7sin^2\theta+3cos^2\theta=4$

বা, $7sin^2\theta+3(1-sin^2\theta)=4$

বা, $7sin^2\theta+3-3sin^2\theta=4$

বা, $4sin^2\theta+3=4$

বা, $4sin^2\theta=4-3$

বা, $4sin^2\theta=1$

বা, $sin^2\theta=\frac{1}{4}$

বা, $\sqrt{sin^2\theta}=\sqrt{\frac{1}{4}}$

বা, $sin\theta=\frac{1}{2}$

বা, $sin\theta=sin30^\circ$

$\therefore \theta=30^\circ$

Left Hand Side
$=tan30^\circ$

$=\frac{1}{\sqrt3}$

$=$ Right Hand Side

$\therefore$ Left Hand Side = Right Hand Side

অর্থাৎ $tan \theta = \frac{1}{\sqrt3}$ [দেখানো হলো]

Comments

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের টেবিল থেকে পাই

$cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$

$sin30^\circ=\frac{1}{2}$

$tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}$