$cosecA-cotA=\frac{1}{x}$ হলে, নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

Question

$cosecA-cotA=\frac{1}{x}$ হলে, 

• (ক) $cosecA+cotA$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $secA=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
• (গ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $tanA + cotA = secA \cdot cosecA$

---

নবম-দশম শ্রেণির গণিত পাঠ্য বইয়ের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (৯.১) এর সকল সমাধান পেতে এখানে ক্লিক করুন।

Answer 1

(ক) এর সমাধান :

দেওয়া আছে,
$cosecA-cotA=\frac{1}{x}$

আমরা জানি,
$cosec^2 \theta - cot^2 \theta = 1$

সুতরাং
$cosec^2A - cot^2A = 1$

বা, $(cosecA + cotA)$$(cosecA - cotA)=1$

বা, $(cosecA + cotA) \times \frac{1}{x}=1$

[ মান বসিয়ে ]

বা, $(cosecA + cotA)=1 \times \frac{x}{1}$

$\therefore cosecA + cotA=x$ [নির্ণেয় মান]

---

(খ) এর সমাধান :

(ক) নং হতে পাই,
$cosecA + cotA=x$

বা, $\frac{1}{sinA} + \frac{cosA}{sinA}=x$

বা, $\frac{1+cosA}{sinA}=x$

বা, $\left(\frac{1+cosA}{sinA}\right)^2=(x)^2$

[ উভয় পার্শ্বে বর্গ করে ]

বা, $\frac{(1+cosA)^2}{sin^2A}=x^2$

বা, $\frac{(1^2+2 \cdot 1 \cdot cosA+cos^2A)}{sin^2A}=x^2$

বা, $\frac{(1+2cosA+cos^2A)}{sin^2A}=x^2$

বা, $\frac{(1+2cosA+cos^2A) + sin^2A}{(1+2cosA+cos^2A) - sin^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

[ যোজন-বিয়োজন করে ]

বা, $\frac{1+2cosA+cos^2A + sin^2A}{1+2cosA+cos^2A - sin^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

বা, $\frac{1+2cosA+1}{1+2cosA+cos^2A - (1-cos^2A)}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

[ $\because$ $sin^2\theta+con^2\theta=1$ এবং $sin^2\theta=1-cos^2\theta$ ]

বা, $\frac{2+2cosA}{1+2cosA+cos^2A - 1+cos^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

বা, $\frac{2+2cosA}{2cosA+2cos^2A}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

বা, $\frac{2(1+cosA)}{2cosA(1+cosA)}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

বা, $\frac{1}{cosA}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

$\therefore secA=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ [দেখানো হলো]

---

(গ) এর সমাধান :

(খ) হতে পাই,

$secA=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

বা, ^{অতিভুজ}/_ভূমি = $\frac{x^2+1}{x^2-1}$

অর্থাৎ, অতিভুজ =$(x^2+1)$, ভূমি =$(x^2-1)$, লম্ব =?

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে, আমরা জানি,
অতিভুজ$^2$ = লম্ব$^2$ $+$ ভূমি$^2$

বা, লম্ব$^2$ = অতিভুজ$^2$ $-$ ভূমি$^2$

বা, লম্ব$^2$ = $(x^2+1)^2-(x^2-1)^2$

বা, লম্ব$^2$ = $\left\{\left(x^2\right)^2+2 \cdot x^2 \cdot 1 +1^2\right\}-$$\left\{\left(x^2\right)^2-2 \cdot x^2 \cdot 1 +1^2\right\}$

বা, লম্ব$^2$ = $\left(x^4+2x^2+1\right)-$$\left(x^4-2x^2+1\right)$

বা, লম্ব$^2$ = $x^4+2x^2+1-x^4+2x^2-1$

বা, লম্ব$^2$ = $4x^2$

বা, লম্ব = $\sqrt{4x^2}$

$\therefore$ লম্ব = $2x$

এখন,
Left Hand Side
$tanA+cotA$

= ^লম্ব/_ভূমি + ^ভূমি/_লম্ব

= $\frac{2x}{x^2-1} + \frac{x^2-1}{2x}$

= $\frac{4x^2 + (x^2-1)^2}{2x(x^2-1)}$

= $\frac{4x^2 + \left(x^2\right)^2-2 \cdot x^2 \cdot 1+1^2}{2x(x^2-1)}$

= $\frac{4x^2 + x^4-2x^2+1}{2x(x^2-1)}$

= $\frac{x^4+2x^2+1}{2x(x^2-1)}$

Right Hand Side
$secA \cdot cosecA$

= ^{অতিভুজ}/_ভূমি $\cdot$ ^{অতিভুজ}/_লম্ব

= $\frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+1}{2x}$

= $\frac{(x^2+1)^2}{2x(x^2-1)}$

= $\frac{\left(x^2\right)^2+2 \cdot x^2 \cdot 1+1^2}{2x(x^2-1)}$

= $\frac{x^4+2x^2+1}{2x(x^2-1)}$

= Left Head Side

অর্থাৎ, $tanA+cotA = secA \cdot cosecA$ [Proved]