Question

$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে, $\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)=\left(ab+bc+cd\right)^2$

Answer 1

দেওয়া আছে,
$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$

মনে করি,
$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$

এখন,
$\frac{a}{b}=k$ বা, $a=bk$

এবং $\frac{b}{c}=k$ বা, $b=ck$

এবং $\frac{c}{d}=k$ বা, $c=dk$

বামপক্ষ,
$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)$

$=\left\{(bk)^2+(ck)^2+(dk)^2\right\}\left(b^2+c^2+d^2\right)$

$=\left(b^2k^2+c^2k^2+d^2k^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)$

$=k^2\left(b^2+c^2+d^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)$

$=k^2\left(b^2+c^2+d^2\right)^2$

ডানপক্ষ,
$\left(ab+bc+cd\right)^2$

$=\left(bk \cdot b+ck \cdot c+dk \cdot d\right)^2$

$=\left(b^2k+c^2k+d^2k\right)^2$

$=\left\{k\left(b^2+c^2+d^2\right)\right\}^2$

$=k^2\left(b^2+c^2+d^2\right)^2$

$\therefore$ বামপক্ষ$=$ডানপক্ষ

অর্থাৎ $\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)$$=\left(ab+bc+cd\right)^2$