Question

$x=\frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $x^3-3mx^2+3x-m=0$

Answer 1

দেওয়া আছে,
$x=\frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$

বা, $\frac{x+1}{x-1}=$$\frac{\left(\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}\right)+\left(\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}\right)}{\left(\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}\right)-\left(\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}\right)}$

[যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{x+1}{x-1}=$$\frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}+\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}-\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}$

বা, $\frac{x+1}{x-1}=$$\frac{2\sqrt[3]{m+1}}{2\sqrt[3]{m-1}}$

বা, $\frac{x+1}{x-1}=$$\frac{\sqrt[3]{m+1}}{\sqrt[3]{m-1}}$

বা, $\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3=$$\left(\frac{\sqrt[3]{m+1}}{\sqrt[3]{m-1}}\right)^3$

[উভয় পাশে ঘন করে]

বা, $\frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^3-3x^2+3x-1}=$$\frac{m+1}{m-1}$

বা, $\frac{\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(x^3-3x^2+3x-1\right)}{\left(x^3+3x^2+3x+1\right)-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)}=$$\frac{\left(m+1\right)+\left(m-1\right)}{\left(m+1\right)-\left(m-1\right)}$

[পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{x^3+3x^2+3x+1+x^3-3x^2+3x-1}{x^3+3x^2+3x+1-x^3+3x^2-3x+1}=$$\frac{m+1+m-1}{m+1-m+1}$

বা, $\frac{2x^3+6x}{6x^2+2}=$$\frac{m+1+m-1}{m+1-m+1}$

বা, $\frac{2\left(x^3+3x\right)}{2\left(3x^2+1\right)}=$$\frac{2m}{2}$

বা, $\frac{x^3+3x}{3x^2+1}=$$\frac{m}{1}$

বা, $1\left(x^3+3x\right)=$$m\left(3x^2+1\right)$

বা, $x^3+3x=3x^2m+m$

বা, $x^3+3x-3x^2m-m=0$

$\therefore x^3-3x^2m+3x-m=0$ [প্রমাণিত]