Question

$\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}$।

Answer 1

দেওয়া আছে,
$\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}$

মনে করি,
$\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}=k$

এখানে,
$\frac{x}{b+c}=k$

বা, $x=k(b+c)$

$\therefore x=kb+kc$

এবং
$\frac{y}{c+a}=k$

বা, $y=k(c+a)$

$\therefore y=kc+ka$

এবং
$\frac{z}{a+b}=k$

বা, $z=k(a+b)$

$\therefore z=ka+kb$

প্রথম রাশি,
$\frac{a}{y+z-x}$

$=\frac{a}{\left(kc+ka\right)+\left(ka+kb\right)-\left(kb+kc\right)}$

$=\frac{a}{kc+ka+ka+kb-kb-kc}$

$=\frac{a}{2ka}$

$=\frac{1}{2k}$

মধ্য রাশি,
$\frac{b}{z+x-y}$

$=\frac{b}{\left(ka+kb\right)+\left(kb+kc\right)-\left(kc+ka\right)}$

$=\frac{b}{ka+kb+kb+kc-kc-ka}$

$=\frac{b}{2kb}$

$=\frac{1}{2k}$

শেষ রাশি,
$\frac{c}{x+y-z}$

$=\frac{c}{\left(kb+kc\right)+\left(kc+ka\right)-\left(ka+kb\right)}$

$=\frac{c}{kb+kc+kc+ka-ka-kb}$

$=\frac{c}{2kc}$

$=\frac{1}{2k}$

সুতরাং দেখা যাচ্ছে প্রতি ক্ষেত্রেই মান একই।

অর্থাৎ, $\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}$