Question

$\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$।

Answer 1

দেওয়া আছে,
$\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$

মনে করি,
$\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}=k$

সুতরাং,

$\frac{bz-cy}{a}=k$

$\therefore bz-cy=ka$ -----($i$)

এবং,
$\frac{cx-az}{b}=k$

$\therefore cx-az=kb$ -----($ii$)

এবং,
$\frac{ay-bx}{c}=k$

$\therefore ay-bx=kc$ -----($iii$)

($i$), ($ii$) ও ($iii$) নং সমীকরণকে যথাক্রমে $x$, $y$, $z$ গুণকরে ও অতঃপর যোগ করে,
$(bxz-cxy)+(cxy-ayz)+(ayz-bxz)$$=kax+kby+kcz$

বা, $bxz-cxy+cxy-ayz+ayz-bxz$$=kax+kby+kcz$

বা, $0=k(ax+by+cz)$

বা, $k(ax+by+cz)=0$

বা, $k=\frac{0}{(ax+by+cz)}$

$\therefore k=0$

$k=0$, ($i$) নং সমীকরণে বসিয়ে,
$bz-cy=ka$

বা, $bz-cy=0 \cdot a$

বা, $bz-cy=0$

বা, $bz=cy$

$\therefore \frac{z}{c}=\frac{y}{b}$ -----($iv$)

$k=0$, ($ii$) নং সমীকরণে বসিয়ে,
$cx-az=kb$

বা, $cx-az=0 \cdot b$

বা, $cx-az=0$

বা, $cx=az$

$\therefore \frac{x}{a}=\frac{z}{c}$ -----($v$)

($iv$) নং ও ($v$) নং সমীকরণ বিবেচনা করে পাই,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ [প্রমাণিত]