উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x$

$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x$

$=x(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)$

ধরি, $f(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$

তাহলে,
$f(1)=1^5-1^4+1^3-1^2+1-1$

$=1-1+1-1+1-1$

$=0$

অর্থাৎ $x=1$ হলে, প্রদত্ত রাশির মান শূন্য ($0$) হয়।
$x=1$
বা, $x-1=0$

অর্থাৎ $x-1$, $f(x)$ এর একটি উৎপাদক।

এখন,
$x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$

$=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$

$=x^4(x-1)+x^2(x-1)+1(x-1)$

$=(x-1)(x^4+x^2+1)$

$=(x-1)\{(x^2)^2+2\cdot x^2 \cdot 1+(1)^2 -x^2\}$

$=(x-1)\{(x^2+1)^2-(x)^2\}$

$=(x-1)\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}$

$=(x-1)(x^2+1+x)(x^2+1-x)$

$=(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

সুতরাং,
$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x$

$=x(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)$

$=x(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ [Answer]