যদি $a+b+c=0$ হয়, তবে নিচের সত্যতাগুলো দেখাও:

Question

যদি $a+b+c=0$ হয়, তবে দেখাও যে,

• (ক) $a^3+b^3+c^3=3abc$
• (খ) $\frac{(b+c)^2}{3bc}+\frac{(c+a)^2}{3ca}+\frac{(a+b)^2}{3ab}=1$

Answer 1

(ক) নং এর সমাধান

$a+b+c=0$

বা, $a+b=-c$

বা, $\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3$
[ উভয় পার্শ্বে ঘন করে ]

বা, $a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3$

বা, $a^3+b^3+3ab\left(-c\right)=-c^3$
[ মান বসিয়ে ]

বা, $a^3+b^3-3abc=-c^3$

$\therefore a^3+b^3+c^3=3abc$

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $a+b+c=0$

সুতরাং, $b+c=-a$; $a+c=-b$ এবং $a+b=-c$

বামপক্ষ,
$\frac{(b+c)^2}{3bc}+\frac{(c+a)^2}{3ca}+\frac{(a+b)^2}{3ab}$

$=\frac{(-a)^2}{3bc}+\frac{(-b)^2}{3ca}+\frac{(-c)^2}{3ab}$
[ মান বসিয়ে ]

$=\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ca}+\frac{c^2}{3ab}$

$=\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}$

$=\frac{\left(a^3+b^3\right)+c^3}{3abc}$

$=\frac{\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3}{3abc}$

$=\frac{\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3}{3abc}$

$=\frac{-c^3+3abc+c^3}{3abc}$

$=\frac{3abc}{3abc}$

$=1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং প্রদত্ত মান অনুসারে, $\frac{(b+c)^2}{3bc}+\frac{(c+a)^2}{3ca}+\frac{(a+b)^2}{3ab}=1$ [Showed]