$4$ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

$4$ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র $ABCD$ এর পরিলিখিত বৃত্ত আঁকা হলো, যার ক্ষেত্রেফল নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, প্রতি বাহু $a=AB=BC=CD=AD=4$ সেমি এবং বর্গের কর্ণ $AC=b$

সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ এ পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,

অতিভুজ^২=লম্ব^২+ভূমি^২

$AC^2=AB^2+BC^2$

বা, $b^2=a^2+a^2$

বা, $b^2=2a^2$

বা, $b^2=2 \times 4^2$

বা, $b=\sqrt{2 \times 4^2}$

বা, $b=\sqrt{2} \times 4$

$\therefore b=4\sqrt{2}$

অর্থাৎ সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ এর অতিভুজ $b=4\sqrt{2}$ যা, বর্গক্ষেত্র $ABCD$ এর কর্ণ এবং যা বৃত্তের ব্যাস।

অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাস $AC=b=4\sqrt{2}$,

সুতরাং ব্যসার্ধ $r=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল $\pi r^2$ বর্গ একক

$=\pi \left(2\sqrt{2}\right)^2$ বর্গ সেমি

$=\pi 4 \times 2$ বর্গ সেমি

$=8\pi$ বর্গ সেমি

সুতরাং, $4$ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল $8\pi$ বর্গসেমি।