$x-\frac{1}{x}=\sqrt3$ যেখানে $x\neq0$ হলে, নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

Question

$x-\frac{1}{x}=\sqrt3$ যেখানে $x\neq0$,

• (ক) প্রমাণ কর যে, $x^2-\sqrt3x=1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $23\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=5\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)$
• (গ) $x^6+\frac{1}{x^6}$ এর মান নির্ণয় কর।

Answer 1

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,
$x-\frac{1}{x}=\sqrt3$

বা, $\frac{x^2-1}{x}=\sqrt3$

বা, $x^2-1=\sqrt3x$

$\therefore x^2-\sqrt3x=1$

---

(খ) নং এর সমাধান

এখানে,

$x^2+\frac{1}{x^2}$

$=x^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2$

$=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2$$+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}$

$=\left(\sqrt3\right)^2+2\frac{}{}$

$=3+2$

$=5$

বামপক্ষ,
$23\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)$

$=23\times5$

$=115$

ডানপক্ষ,

$5\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)$

$=5\left\lbrace\left(x^2\right)^2+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2\right\rbrace$

$=5\left\lbrace\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2.x^2\cdot\frac{1}{x^2}\right\rbrace$

$=5\left(5^2-2\right)$

$=5\left(25-2\right)$

$=5\times23$

$=115$

সুতরাং, প্রদত্ত মান অনুসারে $23\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=5\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)$ [Proved]

---

(গ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,
$x^6+\frac{1}{x^6}$

$=\left(x^2\right)^3+\left(\frac{1}{x^2}\right)^3$

$=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^3$$-3\cdot x^2\cdot\frac{1}{x^2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)$

$=5^3-3\times5$
[ (খ) নং হতে মান বসিয়ে ]

$=125-15$

$=110$ [Answer]